Come Calcolare Integrazione di Funzioni Razionali Fratte

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Gli integrali che rientrano in questa forma sono: gli integrali delle funzioni fratte.Una funzione razionale fratta, come ben sappiamo, è una funzione del tipo: f(x)= p(x)/ q(x). Dove p(x) e q(x) sono due Polinomi. Esistono varie metodologie per la risoluzione di tali integrali: Le prime cose da osservare ed analizzare sono il grado sia del numeratore, in questo caso dall’esempio p(x), e dal denominatore, indicato come q(x). All’interno di questa guida troverete spiegate le metodologie per la risoluzione di un integrale di una funzione razionale fratta.

Affrontiamo in questa guida il calcolo degli integrali di funzioni razionali fratte: (§, con questo simbolo indicherò l’integrale in quanto non è possibile digitarlo con la tastiera e tale simbolo) § N(x) / D(x) dx, dove il numeratore N(x) e il denominatore D(x) sono polinomi. Nelle nostre considerazioni supporremo che il grado del numeratore sia minore del grado del denominatore perché, è sempre possibile eseguire la divisione del polinomio N(x) per il polinomio D(x) ottenendo un polinomio quoziente Q(x) e un polinomio resto R(x) di grado minore di quello di D(x); cioè: N(x)/ D(x)=Q(x) più R(x)/ D(x), da cui: § N(x)/ D(x) dx= §[Q(x) più R(x)/ D(x)] dx= §Q(x) dx più §R(x)/Q(x) dx. Nell’addizione dei due integrali, il primo è calcolabile in quanto è integrale di un polinomio; il secondo è l’integrale di una funzione razionale fratta con numeratore di grado inferiore al grado del denominatore.

ESEMPIO: Calcoliamo: § x^3 più 2x^2 più x più 1 / x^2 più 1 dx il numeratore, come si può vedere, ha grado maggiore del denominatore. Eseguiamo la divisione: (x^3 più 2x^2 più x più 1):(x^2 più 1). Il rapporto può essere scritto nel modo seguente: [ x^3 più 2x^2 più x più 1/ x^2 più 1 dx=x più 2(-1)/x^2 più 1. Calcoliamo l’integrale: § (x più 2 più (-1)/x^2 più 1) dx = § x dx più 2 § dx – § 1/x^2 più 1 dx = x^2/2 più 2x- arctg x più c.Studiamo quindi integrali del tipo § R(x)/ D(x) dx, con R(x) polinomio di primo grado inferiore a quello di D(x).

IL NUMERATORE è LA DERIVATA DEL DENOMINATORE: Abbiamo già visto che: § f’ (x)/ f(x) dx = ln |f(x)| più C, ossia l’integrale indefinito di una funzione fratta in cui il numeratore è la derivata del denominatore è uguale al logaritmo del valore assoluto del denominatore. ESEMPIO: Calcoliamo: § 6x-2 / 3x^2 -2x -1 dx. Osserviamo che: D(3x^2-2x-1)=6x-2 quindi: § 6x -2 / 3x^2-2x-1 dx = ln |3x”-2x-1| più c.

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