Cosa Sono i Divisori di un Numero

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Che cosa sono i divisori di un numero? Come si calcola il massimo comun divisore tra due numeri?

Divisori e multipli

Definizioni

Siano a e b due numeri interi.
Si dice che b è un divisore di a se esiste un numero intero q tale che a = b x q.
Si dice anche che a è un multiplo di b, e che a è divisibile per b.

Note:
Dire che b è un divisore di a è come dire che la divisione euclidea (la divisione a quoziente intero) di a per b ha per resto 0. In questo caso, possiamo scrivere a = b x q, dove q è il quoziente di a per b.

Esempio: 13 e 7 sono divisori di 221?
Eseguiamo la divisione euclidea di 221 per 13, poi di 221 per 7:
221 = 13 x 17, dunque 13 è un divisore di 221.
221 = 31 x 7 + 4, dunque 7 non è un divisore di 221.

Ripassiamo i criteri di divisibilità

Non è sempre necessario fare una divisione per sapere se un numero intero è divisibile per un altro; ricordiamo alcune regole:
Un intero divisibile per 2 è un intero la cui cifra delle unità è 0, 2, 4, 6 o 8.
Un intero divisibile per 3 è un intero in cui la somma delle cifre è divisibile per 3.
Un intero divisibile per 5 è un intero la cui cifra delle unità è 0 o 5.
Un intero divisibile per 9 è un intero in cui la somma delle cifre è divisibile per 9.
Un intero divisibile per 10 è un intero la cui cifra delle unità è 0.

Esempio: Dai criteri elencati possiamo dire che 975 è divisibile per 3 e per 5, mentre non è divisibile per 2, 9 e 10.

I divisori di un numero intero

Regole

Se consideriamo un numero intero a diverso da 0 e da 1, questo numero ha almeno due divisori: 1 e se stesso.
In effetti, si ha sempre a = a x 1.

Il numero 1 ha solo un divisore: se stesso.
Il numero 0 ammette tutti i numeri interi come divisori.

I divisori di un numero intero non nullo possono essere associati: ad esempio, diremo che 8 e 9 sono due divisori associati di 72, poiché 72 è divisibile per 8 e per 9 e 72 = 8 x 9.

Metodo

Spieghiamo il metodo con l’aiuto di un esempio: ricerchiamo tutti i divisori di 72.
La procedura è la seguente: dividiamo 72 per tutti i numeri interi successivi: 1, 2, 3, ecc.
Quando il resto è nullo, si scrive l’uguaglianza corrispondente e i divisori associati che sono stati ottenuti.
Il processo si ferma perché l’uguaglianza 72 = 9 x 8 dà come divisori l’8 e il 9, che sono già stati considerati.
I divisori di 72 sono quindi: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 e 72.

Per qualche altro esempio è possibile vedere questa guida sui criteri di divisibilità su Matematicasemplice.net.

I divisori comuni a due numeri interi

Vogliamo trovare il divisore comune a 72 e 54. Per farlo, cerchiamo i divisori dei due numeri utilizzando il metodo del paragrafo 2.2, poi estraiamo i numeri che figurano in entrambe le liste:

I divisori di 72 sono: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 e 72.

I divisori di 54 sono: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27 e 54.

I divisori comuni a 72 e 54 sono: 1, 2, 3, 6, 9, e 18.

Definizione del MCD

Il massimo comune divisore di due numeri interi si indica con l’abbreviazione MCD, accompagnata da una parentesi contenente i due numeri.

Esempio: Il MCD di 72 e 54 è 18 (come abbiamo visto nell’esempio del paragrafo 3.1).
Si scrive: MCD (72, 54) = 18.
Riprendendo la lista dei divisori comuni di 72 e 54: 1, 2, 3, 6, 9, e 18, constatiamo che sono tutti divisori di 18.

Proprietà: I divisori comuni a due interi sono i divisori del loro MCD. Se conosciamo il MCD di due interi, è sufficiente trovare tutti i suoi divisori per avere i divisori comuni ai due interi.

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